纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是有一种数学证明法律法律依据,常用于证明命题(命题是对某个什么的什么的问题的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了一些一些领域(比如数学分析)的基础,一些数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法有一种非常简单。可能性亲戚亲戚朋友 我想要 证明某个命题对于自然数n都成立,没办法 :

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下后面 的有另4个 步骤。它们实际上导致 ,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。但会 ,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,亲戚亲戚朋友 选则 n的倒下会导致 n + 1的倒下,但会 推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

亲戚亲戚朋友 来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(你你这种公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,只有算出1到3000的累加,不能回家。于是高斯想出了后面 的法律法律依据。天才不是被逼出来的么?)

亲戚亲戚朋友 的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,但会 命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    没办法 ,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。但会 ,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

但会 ,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指有另4个 计算机多多系统进程 调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求多多系统进程 有有另4个 不能达到的终止条件(base case)。比如下面的多多系统进程 ,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在多多系统进程 中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。我想要 得到f(n),只有计算f(n-1);我想要 f(n-1),只有计算f(n-2)……直到f(1)。可能性亲戚亲戚朋友 可能性知道了f(1)的值,亲戚亲戚朋友 就还不能填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的多多系统进程 实现。使用递归设计多多系统进程 的就让,亲戚亲戚朋友 设置base case,并假设亲戚亲戚朋友 会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,亲戚亲戚朋友 只关注初始和衔接,而不只有关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据形态学 实现的。正如亲戚亲戚朋友 后面 所说的,计算f(n),只有f(n-1);计算f(n-1),只有f(n-2)……。亲戚亲戚朋友 在寻找到f(1)就让,会有一些空缺: f(n-1)的值有哪些? f(n-2)的值是有哪些? …… f(2)的值是有哪些?f(1)的值是有哪些? 亲戚亲戚朋友 的第有另4个 什么的什么的问题是f(n)是有哪些,结果,你你这种什么的什么的问题引出下有另4个 什么的什么的问题,再下有另4个 什么的什么的问题…… 每个什么的什么的问题的解答都依赖于下有另4个 什么的什么的问题,直到亲戚亲戚朋友 找到第有另4个 还不能回答的什么的什么的问题: f(1)的值是有哪些?

亲戚亲戚朋友 用栈来保存亲戚亲戚朋友 在探索过程中的什么的什么的问题。C语言中,函数的调用可能性是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,一些很自然的,递归用栈来保存亲戚亲戚朋友 的“什么的什么的问题” 。

亲戚亲戚朋友 假设栈向下增长。首先,亲戚亲戚朋友 调用f(3000),没办法 当执行到

return f(n-1) + n; 

f(3000)暂停执行,并记录当前的状态,比如n的值,当前执行到的位置。就让调用f(99),栈增加有另4个 frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

但会 返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(3000),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(3000)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也还不能自行手动实现栈。原来还不能得到更好的运行波特率。

总结

数学归纳法

递归

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